Serie e progressioni matematiche

1, 2, 3, 4, 5... Questa è una semplice progressione matematica.

1, 2, 4, 8, 16... Anche questa è una progressione.

0, 1, 1, 2, 3, 5... E perfino questa.

Ci sono principalmente due modi per definire una serie:

Uno ricorsivo (partendo dal primo elemento posso conoscere il secondo, dal secondo il terzo e così via) e uno esplicito (vado direttamente a calcolare l'elemento che voglio).

Progressione aritmetica

In tedesco Arithmetische Folge, la progressione arimetica è il primo esempio di questa pagina: una serie di numeri con la stessa differenza fra elemento e elemento. Il primo numero può essere definito come si vuole.

Alcuni esempi:

2, 5, 8, 11...

0.5, 0.6, 0.7...

100, 98, 96, 94...

Il primo elemento viene chiamato \(a_0\) seguono quindi \(a_1\), \(a_2\) e così via... L'ennesimo elemento viene chiamato \(a_n\).

Se conosciamo l'elemento \(a_n\) possiamo calcolare l'elemento \(a_{n+1}\) aggiungendo un valore \(d\) che resta costante nella serie.

Se prendiamo in esempio la serie di sopra: 2, 5, 8, 11... Per conoscere l'elemento successivo all'elemento \(a_1\) (5) dobbiamo aggiungere 3. La formula ricorsiva è dunque così:

\(a_{n+1}= a_n+d\)

Ma se volessimo conoscere il trentesimo elemento non c'è un modo più veloce rispetto all'utilizzare la formula ricorsiva?

In questo caso si, e la formula esplicita dice:

\( a_n=a_0+nd \)

Come al solito nella matematica... Provare per capire, provando a creare un paio di progressioni aritmetiche dovrebbe esservi ben chiaro il meccanismo.

E se volessimo sommare tutti i termini dal primo all'ennesimo?

Abbiamo una formula anche per questo:

\( S_n={{1\over 2}}(n+1)(a_0 + a_n) \)

Non starò a dimostrare le formule ma voglio commentarle:

La prima formula, quella ricorsiva, dovrebbe essere chiara a chiunque o in ogni caso compresa dopo una breve riflessione.

La seconda, quella esplicita, si basa sul fatto che gli elementi crescono tutti del valore \(d\). Ciò vuol dire che fra due elementi vicini c'è differenza \(d\), fra due elementi che ne abbiano un terzo in mezzo la differenza sarà \(2d\) e così via. Quindi fra il primo elemento e l'ennesimo ci sarà differenza \(n*d\). Basterà quindi sommare al primo elemento questa differenza per ottenere l'ennesimo.

L'ultima formula, quella della somma, è la meno intuitiva. Si basa sulla regola delle coppie:

La somma del primo elemento e dell'ultimo è uguale a quella del secondo e del penultimo (provare per credere), e così via. Quindi a noi basta conoscere il primo e l'ultimo per sapere anche tutte le altre sommme fra gli elementi. \(n+1\) è il numero di elementi che noi andiamo a conteggiare, e il tutto si divide per due (\({{1\over 2}}\)) perché ciò che moltiplichiamo è una coppia di numeri, non un elemento singolo.

Progressione geometrica

La progressione geometrica (il secondo esempio di questa pagina) è una serie di numeri fra i quali il rapporto è costante. In pratica moltiplichiamo il fattore precedente per un numero costante per ottenere il successivo. Alcuni esempi:

10, 20, 40, 80...
16, 8, 4, 2, 1, 0.5...
100, 101, 102.01, 103.03, 104.06...
2, -4, 8, -16, 32...

La formula ricorsiva è anche qui abbastanza facile:

\( a_{n+1}=a_n*q \) dove \(q\) è il quoziente fra gli elementi adiacenti \(( a_{n+1}/a_n)\)

Quella esplicita è:

\( a_n = a_0q^n \)

Anche questa è facile da comprendere, in pratica si prende il primo elemento e lo si moltiplica tante volte fino ad arrivare all'ennesimo elemento. Una moltiplicazione ripetuta è un elevamento a potenza, da qui deriva \(q^n\)

Ora pensiamo di sommare ogni elemento da 0 all'ennesimo:

\( S_n=a_0{{{1-q^{n+1}}\over {1-q}}} \)

Questa formula, un po più complessa la lascio senza commento.

L'ultimo dei primi tre esempi in cima a questa pagina è la serie di Fibonacci, che non è né geometrica né aritmetica. Non voglio commentarla in questa pagina ma la ho inclusa per avere un esempio un po' diverso dagli altri, la formula ricorsiva consiste nel prendere gli ultimi due elementi e sommarli assieme per ottenere il successivo.

Dopo questa pagina consiglio di leggere quella sui limiti, perché prosegue con le serie geometriche.