Operazioni fra vettori

Qui di seguito spiegherò le principali operazioni che si possono compiere con i vettori.

Lunghezza di un vettore

Per calcolare la lunghezza di un vettore si somma il quadrato di ogni componente e poi si calcola la radice quadrata:

\(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \sqrt{x²+y²+z²}\)

Questa lunghezza viene chiamata anche modulo, oppure valore assoluto. Di solito si scrive con due barrette fra cui sta il proprio vettore: \(|\vec{a}|\)

Somma e sottrazione

Si sommano o sottraggono semplicemente tutte le componenti:

\(\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3 \end{pmatrix} \)

Prodotto scalare

Il prodotto scalare si fa fra due vettori e restituisce uno scalare.
La sua formula è:

\(\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = a_1*b_1+ a_2*b_2+ a_3*b_3 \)

A cosa serve? Principalmente a sapere l'angolo che c'è fra i due vettori (sopra abbiamo il prodotto scalare fra i vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sotto una semplice moltiplicazione fra le loro rispettive lunghezze).

\(\frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=cos(\varphi)\) Dove \(\varphi\) è l'angolo fra i due vettori. Se il prodotto scalare è zero l'angolo è 90°.

Prodotto vettoriale (cross)

Il prodotto vettoriale ha una formula più complessa:

\(\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix} \)

Il vettore che otteniamo con questo calcolo ha due significati importanti:
la sua lunghezza (valore assoluto, modulo) è uguale all'area di un parallelogramma che comporrebbero i due vettori (vedi foto di copertina),
la sua direzione è esattamente a 90° rispetto ai primi due vettori (è quindi il vettore normale rispetto al piano che viene composto dalla combinazione lineare dei due vettori).