Numeri complessi per tutti

Cosa sono i numeri complessi? A cosa servono? Non bastavano già tutti gli altri numeri?

La risposta è: purtroppo no, tutti i numeri reali non bastano a risolvere ogni equazione.

Vi siete mai chiesti quale sia la risposta a: \(x²=-1\) ?

\((-1)²=1\) , \(1²=1\), e allora quale numero ci da -1?

Nessun numero, sulla linea dei numeri, quindi nessun numero reale può soddisfare quest'equazione.

I matematici hanno trovato un modo per risolverla, il "numero" \(i\). Questo numero deve avere una proprietà fondamentale: \(i²=-1\).

Inventiamo quindi, oppure possiamo dire, scopriamo, i numeri complessi. Formati da una parte reale e una parte immaginaria (i, come immaginario). Tutti i numeri che conosciamo possono essere scritti come numeri complessi, basta dire che la parte immaginaria è zero.

Così si scrive un numero complesso: \(x+yi\). Dove x è la parte reale e yi quella immaginaria. Il numero 5 può essere scritto come \(5+0i\). La radice di -1 può essere scritta come \(0+i\). Le cifre x e y sono sempre semplici numeri reali.

Questi numeri non si trovano più solo su una linea ma su una superficie. Nella foto si può vedere la rappresentazione del numero \(3+2i\). Tutto chiaro?

Questa è la teoria che ci porta ai numeri complessi, ma ora, come facciamo a calcolare con questi numeri? Viene definita un addizione, e una moltiplicazione fra numeri complessi.

Addizione, in teoria e poi un esempio:

\((a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i\)

\((5+4i) + (3+2i) = 8+6i\)

La moltiplicazione è un po più difficile, soprattutto per chi non sa moltiplicare due binomi, è definita così (in pratica si moltiplica ogni fattore del primo numero con ogni altro del secondo numero):

\((a+bi) * (c+di) = a*(c+di) + bi*(c+di) = a*c+a*di+bi*c+bi*di =>\) (visto che i*i=-1) \( => (a*c-b*d)+(a*d+b*c)i\)

Per semplicità da ora inizierò a scrivere il numero x+yi nella forma (x,y). Dove come sempre x è la parte reale e y quella immaginaria.

Sicuramente c'è chi, come me, a questo punto si è detto: ma dobbiamo creare anche dei numeri complessissimi per risolvere la radice di -i? Fortunatamente no, abbiamo ora tutti i numeri di cui necessitavamo. infatti \(\sqrt {-i} \) è uguale a \((\sqrt {0.5} ,-\sqrt {0.5} )\). Dimostriamo che è vero:

\((\sqrt {0.5},-\sqrt {0.5} ) * (\sqrt {0.5},-\sqrt {0.5} ) = (\sqrt {0.5}² -\sqrt {0.5}² ,-\sqrt {0.5}² -\sqrt {0.5}² ) =>\) visto che:\( \sqrt {0.5}² =0.5 => (0.5-0.5 , -0.5-0.5) = (0,-1)\)

Può essere interessante per il lettore affascinato dall'argomento dimostrare che addizione e moltiplicazione sono commutative, che vale la proprietà associativa e quella distributiva anche nei numeri complessi. Io farò l'esempio più facile: la commutatività dell'addizione.

\((a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) \)

Conoscendo la commutatività dei numeri reali sappiamo che \( a+c = c+a \) e che \( b+d = d+b \) . Quindi:

\(= (c+a,d+b) = (c,d)+(a,b)\) Dimostrato!

Un ultima cosa che purtroppo non posso omettere è la rappresentazione con le coordinate polari. La cercherò di spiegare nel modo più semplice possibile, se vi interessasse l'argomento in internet o sui libri trovate spiegazioni più complete anche se spesso più complicate.

Ritorniamo all'immagine "di copertina". Un punto su un piano può essere definito con le coordinate (x,y) oppure con un raggio (r) e un angolo (\( \varphi \)). Il raggio ci da la distanza dal punto (0,0) e l'angolo ci dice da quale parte dobbiamo andare per trovare il nostro numero complesso.

I numeri in questa forma si scrivono come: \(r * e ^ {( i\varphi)} \). Dove \(e\) è il numero irrazionale 2,71828183...

C'è anche una dimostrazione dietro a questo modo di scrivere un numero complesso, ma la ometterò.

Per chi si intende di trigonometria vi dirò solo che, come si nota graficamente, per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari e viceversa:

\( r = x²+y² \)
\( \varphi = arctan(y/x)\) se x è minore di 0 bisogna aggiungere mezzo giro all'angolo (180° oppure \(\pi\))

al contrario:

\( r*cos(\varphi) = x\)
\( r*sin(\varphi) = y\)

Questa è la base dei numeri complessi, che di solito vengono chiamati z, come di solito la variabile "standard" per i numeri razionali è x. Questi permettono quindi di dare almeno una risposta a ogni equazione, come per esempio \(z²+z+1=0\) che nonostante abbia coefficienti reali ha solo due soluzioni complesse ossia:

\(z=(0.5 , \sqrt {0.75}) \) \( z=(0.5 , -\sqrt {0.75})\)