Collinearietà e complanarità fra due vettori

Il titolo forse spaventa un po, ma tutto è facile se partiamo dal principio.

Moltiplicare un vettore con uno scalare

Geometricamente moltiplicare un vettore con uno scalare vuol dire allungarlo tante volte quanto lo scalare, senza modificarne la direzione.

Matematicamente si moltiplica ogni elemento del vettore per lo scalare, un esempio:

\(2* \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}\)

In generale possiamo dire:

\(a* \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax\\ay\\az \end{pmatrix}\)

Con questa moltiplicazione (eseguibile anche con numeri negativi o frazioni) si possono ottenere tutti i vettori che abbiano la stessa direzione del vettore di partenza, ma con una qualsiasi lunghezza.

Attenzione, non bisogna confondere la direzione e il verso.

La direzione è "l'angolazione" del vettore, il verso è dove indica la freccia (può stare in cima o in fondo al vettore ma la direzione resta la stessa). Sarà più chiaro nel prossimo schizzo.

Vettori collineari

Due vettori collineari giacciono sulla stessa retta. Ciò vuol dire che hanno la stessa direzione. In pratica prendendo una retta che abbia la direzione del primo la retta avrà anche la direzione del secondo.

Due vettori sono collineari quando moltiplicando il primo vettore per uno scalare si ottiene il secondo. Questa moltiplicazione è l'esempio più semplice di combinazione lineare (ne parlerò meglio in seguito)

Ecco degli esempi grafici in due dimensioni:

In questa immagine i vettori uno e due sono collineari fra loro, i vettori 3 e 5 anche, in quanto moltiplicando il vettore 3 per -1 si ottiene il vettore 5.

E ora esempi di calcolo:

\(3* \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\6\\9 \end{pmatrix}\)
I due vettori sono collineari in quanto esiste uno scalare (in questo caso il numero 3) che moltiplicato al primo dà il secondo vettore

\(?* \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\6\\8 \end{pmatrix}\)
I due vettori non sono collineari.

Per trovare lo scalare basta vedere per quale numero moltiplicare la prima componente del primo vettore per ottenere la prima componente del secondo vettore. Poi bisogna verificare se ciò vale anche per le altre componenti. Se funziona sono collineari, sennò non lo sono.

Espresso come regola:
Due vettori sono collineari se e solo se esiste uno scalare che moltiplicato al primo vettore dia il secondo vettore.

Naturalmente non importa quale sia il primo e quale sia il secondo vettore. Due vettori uguali sono naturalmente collineari in quanto basta moltiplicarli per uno.

Vettori complanari

I vettori che giacciono sullo stesso piano si dicono complanari. Tutti i vettori in due dimensioni sono infatti complanari. Due vettori sono sempre complanari fra loro.

Infatti come serve un vettore solo per definire una retta servono due vettori per definire un piano. Il lettore scettico può provare con due penne che simboleggiano i vettori a vedere se effettivamente queste non giacciano sempre sullo stesso piano (qualunque esso sia).

Per sapere se tre vettori sono complanari si procede con la combinazione lineare, che fra due o più vettori è di questa forma:
\( a\vec{x}+b\vec{y} \) dove "a" e "b" sono due scalari e "x" e "y" i vettori. La combinazione lineare di due vettori deve dare il terzo vettore. Se ciò è vero vuol dire che i vettori sono complanari.

Perché? I primi due vettori giacciono sullo stesso piano, moltiplicandoli e sommandoli non si potrà mai uscire dal piano, il terzo vettore quindi, se sarà possibile ottenerlo attraverso combinazione lineare, sarà anch'esso nel piano.

Qui consiglio al lettore di usare tre matite o penne come vettori e il tavolo come piano, perché immaginare i vettori aiuta davvero molto a capire questi concetti di base.

Alcuni esempi di calcolo:

\(2* \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} + 5*\begin{pmatrix} 0.6\\1\\0.2 \end{pmatrix}\ = \begin{pmatrix} 5\\7\\5 \end{pmatrix}\)
I vettori sono complanari.

In generale, per calcolare se tre vettori sono complanari si fa un sistema di equazioni. Ecco come:

\(\begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x_3\\y_3\\z_3 \end{pmatrix}\) Si vuole verificare se questi tre vettori sono complanari. Quindi:

\(a*\begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix}\ = \begin{pmatrix} x_3\\y_3\\z_3 \end{pmatrix}\)

Le equazioni sono dunque:

\( a*x_1+b*x_2=x_3 \)
\( a*y_1+b*y_2=y_3 \)
\( a*z_1+b*z_2=z_3 \)

Se otteniamo una o più soluzioni per questo sistema di equazioni allora i vettori sono complanari, se non esistono due numeri "a" e "b" che soddisfino queste tre equazioni allora i vettori non sono complanari

Osservazioni:

Per calcolare più di tre vettori prendere i primi tre, verificarne la complanarità, se sono complanari, prendere i primi due vettori e verificare la loro complanarità anche col quarto e così via. Non fare combinazioni lineari di tutti i vettori, perché la complanarità si verifica sempre solo facendo la combinazione lineare di due vettori per ottenerne un terzo.

Se fra tre vettori due sono collineari i vettori saranno sicuramente complanari.

Il vettore nullo non viene considerato né collineare né complanare rispetto agli altri, o comunque non entra mai in discussione.