1=2??? Appunti su equazioni e polinomi

Equazioni

Un equazione è un espressione che di solito contiene un incognita. Questa espressione ha sempre un uguale e presenta termini dalle due parti. L'uguale si puo` definire come una bilancia che si trovi in equilibrio: dalle due parti abbiamo quindi lo stesso peso (lo stesso numero).

Alcuni esempi:

2x=4

3x=5x+1

2(x+1)=3(x-2x)

Come incongita uso sempre la x per semplicità, le variabili potrebbero pero` avere nomi diversi. L'equazione piu` semplice è la seguente:

x=1

Dalla quale si puo` leggere subito il risultato. Ci sono equazioni impossibili:

x=x+1 (nessun numero infatti è uguale a se stesso con l'aggiunta di uno)

Equazioni di secondo grado (x^2=4) o di terzo (x^3=8). Equazioni complesse (dove la risposta è appunto un numero complesso, ad esempio x=2i, in questo caso di solito si usa z come incognita.)

Per risolvere un equazione si cerca sempre di isolare la x, dal resto dei numeri. Essendo l'equazione una bilancia noi possiamo aggiungere o togliere lo stesso "peso" da tutte e due le parti ed essa rimarrà sempre bilanciata. Possiamo anche moltiplicare o dividere per lo stesso numero e otterremo sempre un equazione bilanciata. Per quanto riguarda le equazioni di secondo grado si puo` usare la radice quadrata ma porta ad una perdita di soluzioni, ad esempio:

x^2=4 -> La radice quadrata porta a -> x=2 Ma una soluzione possibile sarebbe anche stata: x=(-2)

Polinomi

I polinomi sono "pezzetti" di equazioni, con una somma o una sottrazione in mezzo, spiegando meglio:

x+1 è un binomio (polinomio formato da due pezzi)

3x non è un polinomio (non abbiamo somme o sottrazioni)

x^2+3x+1 è un polinomio.

Moltiplicare polinomi è semplice, esempio moltiplicando un binomio con un numero:

3(x+1)=3x+3

2x(5x+4)=10x^2+8X

La regola è:

x(y+z)=xy+xz

x(y-z)=xy-xz

Oppure moliplichiamo due binomi:

(x+1)(x-2)=x^2-2x + x-2 = x^2-x-4

La regola è:

(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)

(a-b)(c+d)=a(c+d)-b(c+d)

Possiamo spesso fattorizzare (ossia scomporre) un polinomio (di secondo grado è fattibile anche a mente, con un po di regole ed esercizio), ossia compiere l'operazione inversa rispetto alla moltiplicazione di due binomi.

E ora...

Il titolo della pagina viene svelato, ecco

l'equazione misteriosa

x^2-x^2=x^2-x^2 (scrivendo su carta sarà piu` chiaro)

= x(x-x) = (x+x)(x-x) (abbiamo fattorizzato in due modi diversi la parte sinistra e qualla destra)

= x = (x+x) (abbiamo diviso da tutte e due le parti per (x-x))

= x = 2x (dividiamo per x)

= 1 = 2 (cosa?????)

Scrivo direttamente la soluzione... Ma se ci volete pensare un po' leggetela fra un attimo...

L'errore sta nel dividere per (x-x) in quanto x-x è uguale a zero. E non si puo` dividere un numero per zero. Questo sballa poi il risultato dell'equazione che ne risulta, all'inizio x potrebbe essere un qualsiasi numero, e dopo otteniamo che puo` essere soltanto zero. Poi compiamo un secondo errore, dividendo per x, in quanto x in questo caso è sicuramente zero (infatti è l'unico numero che soddisfa l'equazione x=2x), e cosi` facendo, alla fine sembra che la nostra equazione non abbia risultato alcuno. morale della favola: attenti a dividere per x, perché potreste dividere per zero e ritrovarvi con risultati assai strani!